租房时没有签正式合同，退房时要支付一个月的

不需支付一个月房租。依据《合同法》，未签书面合同视为不定期租赁，双方可随时解除，多住的10天应按实际天数计费，而非整月。若强行要求支付整月，将损害承租人合法权益。
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常见处理方式为协商或诉讼。首先尝试与房东协商，按实际多住天数支付房租；若协商不成，可诉诸法院，依据《合同法》维护自身权益，选择最适合的处理方式。
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不需付整月房租。操作如下：1.与房东沟通，说明多住10天情况，提出按天计费；2.若房东坚持要求整月，可请求第三方调解或律师介入；3.仍无法解决，准备租房相关证据，向法院提起诉讼，依据《合同法》维权。